حاسبة طريقة السمبلكس
حل مسائل البرمجة الخطية عبر الإنترنت, مجانًا وبسرعة مع عمليات محورية كاملة خطوة بخطوة.
تتعامل حاسبة طريقة السمبلكس لدينا مع التعظيم والتصغير وطريقة المرحلتين و Big M والثنائية والسمبلكس المنقح. أدخل دالة الهدف والقيود الخاصة بك، وتنفذ الحاسبة كل عملية محورية تلقائيًا.
حاسبة السمبلكس
كيف تعمل حاسبة طريقة السمبلكس
أدخل مسألة البرمجة الخطية
اكتب معاملات دالة الهدف وكل صف من صفوف القيود مع قيمة الطرف الأيمن الخاصة به.
اختر التعظيم أو التصغير
اختر هدف التحسين الخاص بك. تبني الأداة الجدول الأولي مع المتغيرات الراكدة تلقائيًا.
نفّذ التكرارات المحورية
تحدد الحاسبة العمود المحوري عبر Cj-Zj، وتحسب النسب، وتنفذ العمليات الأولية على الصفوف حتى الوصول إلى الحل الأمثل.
اقرأ الحل الأمثل
يعرض الجدول النهائي قيم المتغيرات المثلى وصف Zj وقيمة الهدف العظمى/الصغرى.
نموذج مخرجات جدول السمبلكس
مثال على تكرار الجدول لمسألة تعظيم بمتغيرين
| Basis | x1 | x2 | s1 | s2 | RHS | Cj-Zj |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x1 | 14 | 0 | 0 | 1 | 14 | 0 |
| x2 | 7 | 1 | 0 | 0 | 7 | 5 |
| Zj | 35 | 5 | 0 | 0 | 35 |
ما هي طريقة السمبلكس؟
طريقة السمبلكس هي الخوارزمية الأكثر استخدامًا لحل مسائل البرمجة الخطية (LP). طورها جورج دانتزيج عام 1947، وهي تجد القيمة المثلى لدالة هدف خطية خاضعة لمجموعة من القيود الخطية. تقوم حاسبة طريقة السمبلكس بأتمتة هذه العملية: تُدخل دالة الهدف والقيود، فتنفّذ الحاسبة كل عملية محورية حتى تصل إلى الحل الأمثل، وتعرض كل جدول (tableau) على طول المسار.
تظهر نماذج البرمجة الخطية في كل مكان - تعظيم الربح، وتقليل التكلفة، وتخصيص الموارد، وتخطيط الإنتاج، وحل مسائل النقل والحمية. وكلما كانت العلاقات خطية، تنتقل طريقة السمبلكس بكفاءة من نقطة ركنية في المنطقة الممكنة إلى النقطة التالية، محسِّنةً الهدف في كل خطوة حتى لا يعود أي تحسين ممكنًا.
صيغة طريقة السمبلكس والشكل القياسي
قبل تطبيق الخوارزمية، تُكتب المسألة بالشكل القياسي. في مسألة تعظيم، يُحوَّل كل قيد إلى معادلة بإضافة متغير راكد (slack) لقيود أقل من أو يساوي، وطرح متغير فائض (surplus) لقيود أكبر من أو يساوي، وعند الحاجة بإضافة متغير اصطناعي (artificial). تُكتب دالة الهدف على صورة عظِّم Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn، خاضعةً لمعادلات القيود، مع كون جميع المتغيرات أكبر من أو تساوي صفرًا.
تملأ هذه المعاملات جدول السمبلكس الأول. تبني حاسبة الجدول هذا الجدول تلقائيًا، وتحسب صفّي Zj و Cj ناقص Zj لكل تكرار حتى تتمكن من متابعة الحسابات بدقة.
كيفية حل طريقة السمبلكس خطوة بخطوة
لنأخذ المثال عظِّم Z = 3x1 + 5x2 خاضعًا لـ x1 + 2x2 أقل من أو يساوي 14 و x1 + x2 أقل من أو يساوي 8. أولًا، أنشئ الجدول الابتدائي بإضافة متغيرات راكدة إلى القيدين. ثانيًا، احسب Cj ناقص Zj واختر القيمة الأكثر إيجابية بوصفها المتغير الداخل (العمود المحوري). ثالثًا، طبّق اختبار النسبة بقسمة كل قيمة في الطرف الأيمن على المُدخل الموجب للعمود المحوري، واختر أصغر نسبة غير سالبة لتحديد المتغير الخارج (الصف المحوري). رابعًا، نفّذ المحورة باستخدام عمليات الصفوف الأولية. وأخيرًا، كرّر حتى تصبح كل قيمة Cj ناقص Zj أقل من أو تساوي صفرًا.
في هذا المثال يكون الحل الأمثل x1 = 2، x2 = 6، مع Z = 36. تعرض الحاسبة خطوة بخطوة في هذه الصفحة كل تكرار حتى تتمكن من إعادة إنتاجه على الورق.
التعظيم مقابل التصغير
تتعامل طريقة السمبلكس مع كلا الاتجاهين. في مسألة التعظيم تزيد الخوارزمية Z حتى لا تبقى أي قيمة Cj ناقص Zj موجبة. وتُحل مسألة التصغير إما بتحويلها إلى تعظيم مكافئ (تصغير Z هو نفسه تعظيم Z السالب) أو باختيار أكثر قيمة Cj ناقص Zj سالبية. وكثيرًا ما تتضمن مسائل التصغير قيود أكبر من أو يساوي، التي تتطلب تقنية M الكبيرة أو المرحلتين.
طريقة M الكبيرة وطريقة المرحلتين
عندما تحتوي المسألة على قيود أكبر من أو يساوي، تُدخَل متغيرات اصطناعية. تُسند طريقة M الكبيرة إلى هذه المتغيرات الاصطناعية جزاءً (penalty) كبيرًا جدًا حتى تطردها الخوارزمية من الأساس. وتحقق طريقة السمبلكس ذات المرحلتين الهدف نفسه على مرحلتين: تصغّر المرحلة 1 مجموع المتغيرات الاصطناعية لإيجاد نقطة بداية ممكنة، وتحسّن المرحلة 2 الهدف الحقيقي. وكلتاهما تصلان إلى الحل الأمثل ذاته.
طريقتا السمبلكس الثنوية والمنقّحة
تبدأ طريقة السمبلكس الثنوية (dual) من جدول أمثل لكنه غير ممكن وتستعيد الإمكانية، وهو ما يكون فعّالًا عند إضافة قيود إلى مسألة محلولة بالفعل. أما طريقة السمبلكس المنقّحة (revised) فتخزّن فقط معكوس مصفوفة الأساس بدلًا من الجدول الكامل، مما يجعلها أكثر كفاءة في الذاكرة بكثير للمسائل الكبيرة مع إنتاج نتائج متطابقة.
طريقة السمبلكس على حاسبة بيانية أو TI-84
يمكنك تنفيذ خوارزمية السمبلكس يدويًا على حاسبة بيانية باستخدام عمليات صفوف المصفوفات. على حاسبة TI-84، خزّن الجدول كمصفوفة، ثم استخدم rowSwap وضرب-الصف وضرب-الصف-مع-الجمع من قائمة MATRIX MATH للمحورة. لا تحتوي حاسبات Casio العلمية على دالة سمبلكس مدمجة، لكن وضع المصفوفة (Matrix) فيها يمكنه تنفيذ عمليات الصفوف نفسها يدويًا. وللحصول على نتائج فورية دون محورة يدوية، تنفّذ الحاسبة الإلكترونية في هذه الصفحة كل خطوة نيابةً عنك.
طريقة السمبلكس مقابل الطريقة البيانية
تعمل الطريقة البيانية فقط مع مسائل المتغيرين، حيث يمكن رسم المنطقة الممكنة وقراءة القيمة المثلى عند نقطة ركنية. أما طريقة السمبلكس فلا حد لها من هذا النوع - فهي تحل مسائل بأي عدد من المتغيرات. استخدم حاسبة المتغيرين لأمثلة الكتب الدراسية، أو حاسبتي الثلاثة والأربعة متغيرات عندما تكبر المسألة بما يتجاوز ما يمكنك رسمه بيانيًا.
مسائل البرمجة الخطية (LPP)
تجمع مسألة البرمجة الخطية (LPP) بين هدف خطي وقيود خطية. تحل حاسبة طريقة السمبلكس لمسائل LPP والحاسبة العامة للبرمجة الخطية مسائل LPP للتعظيم والتصغير عبر الإنترنت، وتعرض عملية الجدول الكاملة حتى تتعلّم الطريقة أثناء حلّك لمسائل حقيقية.
استكشف جميع حاسبات السمبلكس
اختر أداة البرمجة الخطية المحددة التي تحتاجها
حاسبة طريقة السمبلكس مع الخطوات
حاسبة طريقة السمبلكس خطوة بخطوة للبرمجة الخطية. شاهد كل عملية محورية وتكرار للجدول.
افتح الأداة →حاسبة طريقة السمبلكس ذات المرحلتين
حاسبة طريقة السمبلكس ذات المرحلتين لمسائل البرمجة الخطية مع المتغيرات الاصطناعية. حل المرحلة 1 والمرحلة 2 تلقائيًا.
افتح الأداة →حاسبة طريقة Big M
حاسبة طريقة Big M لحل مسائل البرمجة الخطية مع المتغيرات الاصطناعية باستخدام أسلوب العقوبة.
افتح الأداة →حاسبة طريقة السمبلكس الثنائية
حاسبة طريقة السمبلكس الثنائية لحل مسائل البرمجة الخطية عبر التكرار على المسألة الثنائية.
افتح الأداة →حاسبة تصغير طريقة السمبلكس
حاسبة تصغير طريقة السمبلكس لحل مسائل البرمجة الخطية لإيجاد أدنى تكلفة أو قيمة هدف.
افتح الأداة →حاسبة جدول طريقة السمبلكس
حاسبة جدول طريقة السمبلكس لحل مسائل البرمجة الخطية. احسب Zj و Cj-Zj ونفّذ العمليات المحورية بسهولة.
افتح الأداة →حاسبة طريقة السمبلكس المنقحة
حاسبة طريقة السمبلكس المنقحة باستخدام عمليات المصفوفات لحل البرمجة الخطية بكفاءة.
افتح الأداة →حاسبة تعظيم طريقة السمبلكس
حاسبة تعظيم طريقة السمبلكس لحل مسائل البرمجة الخطية لإيجاد أقصى قيمة هدف.
افتح الأداة →حاسبة البرمجة الخطية باستخدام طريقة السمبلكس
حاسبة البرمجة الخطية المجانية عبر الإنترنت باستخدام طريقة السمبلكس لحل مسائل البرمجة الخطية خطوة بخطوة.
افتح الأداة →حاسبة طريقة السمبلكس : متغيران
حاسبة طريقة السمبلكس لمسائل البرمجة الخطية بمتغيرين. تصوّر وحل مسائل البرمجة الخطية ثنائية الأبعاد على الفور.
افتح الأداة →حاسبة طريقة السمبلكس : ثلاثة متغيرات
حاسبة طريقة السمبلكس لمسائل البرمجة الخطية بثلاثة متغيرات. حل مسائل البرمجة الخطية بـ x1 و x2 و x3 بسهولة.
افتح الأداة →حاسبة طريقة السمبلكس : أربعة متغيرات
حاسبة طريقة السمبلكس لمسائل البرمجة الخطية بأربعة متغيرات. حل مسائل البرمجة الخطية عالية الأبعاد على الفور.
افتح الأداة →طريقة السمبلكس على الآلة الحاسبة البيانية / TI-84
تعلّم كيفية حل طريقة السمبلكس على آلة حاسبة TI-84 أو بيانية باستخدام عمليات المصفوفات ودوال الصفوف.
افتح الأداة →حاسبة طريقة السمبلكس LPP
حاسبة طريقة السمبلكس LPP (مسألة البرمجة الخطية). حل مسائل التعظيم والتصغير في LPP عبر الإنترنت.
افتح الأداة →حاسبة طريقة السمبلكس للنقل
حاسبة طريقة السمبلكس للنقل لتقليل تكلفة الشحن من المصادر إلى الوجهات باستخدام البرمجة الخطية.
افتح الأداة →حاسبة مصفوفة طريقة السمبلكس
حاسبة مصفوفة طريقة السمبلكس التي تحل مسائل البرمجة الخطية باستخدام عمليات صفوف المصفوفة وتعرض كل جدول سمبلكس.
افتح الأداة →حاسبة العنصر المحوري لطريقة السمبلكس
حاسبة طريقة السمبلكس التي تحدد العمود المحوري والصف المحوري وتنفذ كل عملية محورية خطوة بخطوة.
افتح الأداة →حاسبة طريقة السمبلكس مع متغيرات الفائض
حاسبة طريقة السمبلكس مع متغيرات الفائض التي تحول المتباينات إلى معادلات وتعرض جدول السمبلكس مع أعمدة الفائض.
افتح الأداة →حاسبة طريقة السمبلكس غير القياسية
حاسبة طريقة السمبلكس غير القياسية للمسائل ذات قيود أكبر من أو يساوي، تُحل بطريقة M الكبيرة.
افتح الأداة →حاسبة طريقة السمبلكس الشبكية
حاسبة طريقة السمبلكس الشبكية لمسائل التدفق ذي التكلفة الدنيا والبرمجة الخطية الشبكية التي تُحل بخوارزمية السمبلكس.
افتح الأداة →الأسئلة الشائعة
كيفية إجراء طريقة السمبلكس على الآلة الحاسبة؟
أدخل دالة الهدف والقيود في حقول الآلة الحاسبة، واختر تعظيم (Maximize) أو تصغير (Minimize)، ثم انقر على حل. تقوم الأداة تلقائيًا بجميع عمليات المحور (pivot) وتعرض الحل الأمثل.
كيفية حل طريقة السمبلكس على الآلة الحاسبة؟
أدخل متغيرات البرمجة الخطية (LP) والمعاملات والقيود الخاصة بك. تمر حاسبة السمبلكس عبر كل تكرار من جدول السمبلكس (tableau) وتعرض لك عملية المحور خطوة بخطوة حتى الوصول إلى الحل الأمثل.
كيفية استخدام طريقة السمبلكس على الآلة الحاسبة؟
اختر عدد المتغيرات، وأدخل صف دالة الهدف، وأضف كل صف قيد مع قيمة الطرف الأيمن (RHS) الخاصة به، واختر هدفك (تعظيم/تصغير)، ثم اضغط على احسب للحصول على الحل الكامل.
كيفية إيجاد طريقة السمبلكس باستخدام الآلة الحاسبة؟
ابحث عن 'حاسبة طريقة السمبلكس' عبر الإنترنت وافتح أي أداة مجانية. أدخل مسألة البرمجة الخطية الخاصة بك، وتطبق الحاسبة خوارزمية السمبلكس لإيجاد الحل الأمثل تلقائيًا.
كيفية حساب طريقة السمبلكس في البرمجة الخطية؟
أنشئ جدول السمبلكس الابتدائي بمتغيرات القرار ومتغيرات الفائض (slack). حدّد أكثر قيمة سالبة لـ Cj-Zj كعمود محوري، واحسب النِّسَب لإيجاد الصف المحوري، ثم نفّذ العمليات الأولية على الصفوف للتكرار.
كيفية تصغير طريقة السمبلكس باستخدام الآلة الحاسبة؟
افتح حاسبة تصغير السمبلكس، واختر خيار تصغير (Minimize)، وأدخل معاملات دالة التكلفة وقيم القيود، ثم انقر على حل للحصول على قيمة الهدف الدنيا وقيم المتغيرات المثلى.
كيفية حساب Zj في طريقة السمبلكس؟
Zj = مجموع (Cbi × aij) لكل عمود j، حيث Cbi هو معامل الهدف للمتغير الأساسي الحالي في الصف i، وaij هو عنصر الجدول المقابل في ذلك العمود.
كيفية حل طريقة السمبلكس باستخدام الآلة الحاسبة الرسومية؟
على آلة TI-84، خزّن الجدول في مصفوفة باستخدام MATRIX > EDIT، ثم استخدم عمليات الصفوف عبر MATRIX > MATH (rowSwap وrow* وrow+*). وبدلاً من ذلك، استخدم تطبيق سمبلكس مخصصًا متاحًا لآلات TI الحاسبة.
هل تستطيع الآلات الحاسبة إجراء طريقة السمبلكس؟
نعم. تتعامل حاسبات السمبلكس عبر الإنترنت مع الخوارزمية الكاملة - من إعداد الجدول الابتدائي إلى الحل الأمثل النهائي - بما في ذلك جميع اختيارات المحور وعمليات الصفوف تلقائيًا.
هل يمكننا حساب عملية محور طريقة السمبلكس بواسطة Casio؟
لا تحتوي آلات Casio العلمية الحاسبة على دالة سمبلكس مدمجة. ومع ذلك، يمكنك إجراء عمليات صفوف المصفوفات يدويًا باستخدام وضع Matrix في Casio لتنفيذ كل خطوة محورية.
حاسبة طريقة السمبلكس من الألف إلى الياء؟
تغطي حاسبة طريقة السمبلكس الكاملة كل شيء: إدخال مسألة البرمجة الخطية، وإعداد الجدول الابتدائي، وتنفيذ جميع تكرارات المحور، وتحديد الأساس الأمثل، وعرض الحل النهائي بجميع قيم المتغيرات.
ما هي طريقة السمبلكس؟
طريقة السمبلكس (simplex method) خوارزمية تكرارية طوّرها جورج دانتزيغ (George Dantzig) عام 1947 لحل مسائل البرمجة الخطية. تنتقل من رأس (نقطة ركنية) في منطقة الحلول الممكنة إلى رأس مجاور، مع تحسين دالة الهدف في كل خطوة حتى تصل إلى الحل الأمثل.
هل طريقة السمبلكس هي نفسها البرمجة الخطية؟
لا. البرمجة الخطية هي نوع المسألة - تحسين هدف خطي خاضع لقيود خطية. أما طريقة السمبلكس فهي إحدى الخوارزميات المستخدمة لحل مسائل البرمجة الخطية؛ ومن غيرها الطريقة البيانية وطرائق النقطة الداخلية.
ما هي المتغيرات الفائضة (slack) والزائدة (surplus) والاصطناعية (artificial)؟
يُضاف متغير الركود (slack) إلى قيد ≤ لتحويله إلى معادلة، ويُطرح متغير الفائض (surplus) من قيد ≥، ويُضاف المتغير الاصطناعي (artificial) إلى قيود ≥ و= لتوفير حل أساسي ممكن للبداية. وتُزال المتغيرات الاصطناعية أثناء طريقة Big M أو الطريقة ذات المرحلتين (two-phase).
ما الفرق بين طريقة Big M وطريقة المرحلتين؟
كلتاهما تتعامل مع المتغيرات الاصطناعية لقيود ≥ و=. تستخدم طريقة Big M هدفًا واحدًا مع ثابت جزائي كبير M، بينما تقوم طريقة المرحلتين (two-phase) أولًا بتصغير المتغيرات الاصطناعية (المرحلة 1)، ثم تحسين الهدف الحقيقي (المرحلة 2). وتصلان إلى الحل الأمثل نفسه.
كيف يُختار عمود المحور وصف المحور؟
في حالة التعظيم، عمود المحور (المتغير الداخل) هو العمود ذو القيمة Cj − Zj الأكثر موجبيةً. ويُوجد صف المحور (المتغير الخارج) باختبار النسبة الدنيا: تُقسَم كل قيمة في الطرف الأيمن على المُدخل الموجب في عمود المحور، وتُختار أصغر نسبة غير سالبة.
متى يكون جدول السمبلكس (tableau) أمثل؟
يكون الجدول أمثل عندما لا يمكن تحقيق أي تحسين إضافي. وفي مسألة التعظيم يحدث ذلك عندما تكون كل قيمة Cj − Zj أقل من أو تساوي الصفر؛ وفي التصغير، عندما تكون كل Cj − Zj أكبر من أو تساوي الصفر.
هل تستطيع طريقة السمبلكس حل مسائل التصغير؟
نعم. يُحَل التصغير إما بتحويله إلى تعظيم مكافئ (تصغير Z يماثل تعظيم −Z)، أو باختيار أكثر قيمة Cj − Zj سالبيةً كمتغير داخل. وتُعالَج القيود من نوع ≥ بمتغيرات الفائض والاصطناعية.
كيف تعمل طريقة السمبلكس الثنائية (dual)؟
تبدأ طريقة السمبلكس الثنائية (dual) من جدول أمثل لكنه غير ممكن (بعض قيم الطرف الأيمن سالبة). تختار أولًا المتغير الخارج (الطرف الأيمن الأكثر سالبيةً)، ثم المتغير الداخل عبر اختبار نسبة ثنائي، مستعيدةً الإمكانية مع الحفاظ على الأمثلية.
ما هي طريقة السمبلكس المنقَّحة (revised)؟
تجري طريقة السمبلكس المنقَّحة (revised) التكرارات نفسها التي تجريها الطريقة القياسية، لكنها تخزّن فقط معكوس مصفوفة الأساس (B⁻¹) بدلًا من الجدول الكامل. وهذا يجعلها أكفأ بكثير من حيث الذاكرة، وهي أساس حلّالات البرمجة الخطية الاحترافية.
ماذا يعني الحل غير المحدود (unbounded)؟
يكون البرنامج الخطي غير محدود عندما يمكن زيادة دالة الهدف (في التعظيم) أو إنقاصها (في التصغير) بلا حد مع استيفاء جميع القيود. وفي طريقة السمبلكس يُكتشَف ذلك عندما لا يحوي عمود المحور أي مُدخلات موجبة لاختبار النسبة.
ما هو الحل المنحَل (degenerate) في طريقة السمبلكس؟
يحدث الانحلال (degeneracy) عندما يساوي متغير أساسي الصفر في الجدول، غالبًا بسبب تعادل في اختبار النسبة الدنيا. وقد يسبب الانحلال الدوران (cycling)، حيث تكرر الخوارزمية الجداول دون تحسين الهدف؛ وتمنع ذلك قواعد مكافحة الدوران مثل قاعدة بلاند (Bland's rule).
كم عدد المتغيرات التي يمكن لطريقة السمبلكس معالجتها؟
لا يوجد حد ثابت. تقتصر الطريقة البيانية على متغيرين، لكن طريقة السمبلكس تعمل لأي عدد من متغيرات القرار والقيود - من مسائل الكتب المدرسية الصغيرة ذات المتغيرين إلى النماذج الصناعية التي تضم آلاف المتغيرات.
ما هي طريقة سمبلكس النقل (transportation)؟
مسألة النقل (transportation) برنامج خطي خاص يصغّر تكلفة شحن البضائع من المصادر إلى الوجهات. ويمكن حلها بطريقة السمبلكس العامة، لكن نسخًا متخصصة (مثل طريقة MODI أو طريقة حجر الانتقال) تستغل بنيتها لتحقيق الكفاءة.
لماذا نستخدم طريقة السمبلكس بدلًا من الطريقة البيانية؟
تعمل الطريقة البيانية فقط للمسائل ذات المتغيرين، لأن منطقة الحلول الممكنة يجب رسمها في بُعدين. أما طريقة السمبلكس فلا يوجد فيها هذا القيد، وتستطيع حل المسائل ذات أي عدد من المتغيرات جبريًا، ولهذا فهي النهج القياسي.